【３-d】内包絡線の陰線処理

これ以降はa=1, R=n(n-2) aとして直線部分が最長となるように最適化されたものについて計算するが，包絡線

X=(n-2)cos(nt-θ)+ncos{(n-2)t+θ}-2n(n-2)sin(t-θ)+2cos(n-1)θ

Y=-(n-2)sin(nt-θ)+nsin{(n-2)t+θ} -2n(n-2)cos(t-θ)+2sin(n-1)θ

において，

m=n-2

θ=(n-2)t/m+(2k+1)π/m, t=[0,2π/(n-1)], k=0,1,・・・,m-1とおくと直線部分が，

θ=-nt/m+(2k+1)π/m , t=[2π-π/(n-1),2π], k=0,1,・・・,m-1とおくと曲線部分が得られる．

n=4, m=2, k=0

θ=π/2+tとおくと，X=16, Y=4cos(t)　　　(直線)

θ=π/2-2tとおくと，X=16cos(3t), Y=4-16sin(3t)

X^2+(Y-4)^2=16^2　　　(円)

すなわち，ｎ＝４のとき，半径16の半円を長さ８の線分で補間した形状を備えている（２つの円を半径の半分だけずらしたものである）ことが確かめられる．

共役包絡線

X=(n-2)cos(nt+θ)+ncos{(n-2)t-θ}-2n(n-2)sin(t+θ)+2cos(n-1)θ

Y=-(n-2)sin(nt+θ)+nsin{(n-2)t-θ} -2n(n-2)cos(t+θ)+2sin(n-1)θ

において，

m=n

θ=-nt/m+2kπ/m, t=[0,2π/(n-1)], k=0,1,・・・,m-1とおくと直線部分が,

θ=(n-2)t/m+2kπ/m, t=[2π-π/(n-1),2π],k=0,1,・・・,m-1とおくと曲線部分が得られる．

n=4, m=4, k=0

θ=-tとおくと，X=8cos(3t), Y=-16　　　(直線)

θ=t/2とおくと，

X=2cos(9t/2)+6cos(3t/2)-16sin(3t/2)= 8{cos(3t/2)}^3-16sin(3t/2)

Y=-2sin(9t/2)+6sin(3t/2)-16cos(3t/2)=8{sin(3t/2)}^3-16cos(3t/2)

すなわち，ｎ＝４のとき，長さ16の線分とアステロイドの平行曲線から構成されることがわかる．

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