【３-c】ローター曲線の包絡線

ステーター曲線を設計するため，今度はローター曲線

x=(n-2)acos(nt)+nacos(n-2)t-2Rsint

y＝-(n-2)asin(nt)+nasin(n-2)t-2Rcost

を（ｎ−１）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを同じ方向にとると，

[Ｘ]=[cosθ,-sinθ][ｘ]+[acos(n-1)θ]

[Ｙ]=[sinθ, cosθ][ｙ]＋[asin(n-1)θ]

ローター曲線の運動族は

X=(n-2)acos(nt-θ)+nacos{(n-2)t+θ}-2Rsin(t-θ)+2acos{(n-1)θ}

Y=-(n-2)asin(nt-θ)+nasin{(n-2)t+θ}-2Rcos(t-θ)+2asin{(n-1)θ}

で表される．

その包絡線を得るために

(∂Y/∂t)(∂X/∂θ)-(∂X/∂t)(∂Y/∂θ)=0

を計算する．この計算は非常に煩雑であるから具体的な形は割愛し，考え方を示すにとどめるが，得られた方程式をうまく解くと，

A・cos(ｍθ)+B・sin(ｍθ)=C

の形に整理される．ここで

cosψ=A/(A^2+B^2)^(1/2)，

sinψ=B/(A^2+B^2)^(1/2)，

tanψ=B/A

とおくと，

cos(ｍθ-ψ)=C/(A^2+B^2)^(1/2)

より

cos{ｍθ-arctan(B/A)}=C/(A^2+B^2)^(1/2)　

m=n-2

A=-sint, B=cost, C=-cos(n-1)t

より，解くべき方程式は

cos(ｍθ+t)+cos(n-1)t=0

cos{(ｍθ+nt)/2}・cos{(ｍθ-(n-2)t)/2}=0

となって，

(ｍθ+nt)/2=π/2,3π/2,5π/2,・・・

(ｍθ-(n-2)t)/2=π/2,3π/2,5π/2,・・・

となり，2種類の解θ=θ(t)が得られる．

ローター曲線

x=(n-2)acos(nθ)+nacos(n-2)θ-2Rsinθ

y＝-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ-2Rcosθ

を（ｎ−１）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを逆方向にとると，

[Ｘ]=[cosθ, sinθ][ｘ]+[acos(n-1)θ]

[Ｙ]=[-sinθ, cosθ][ｙ]＋[asin(n-1)θ]

すなわち，その運動族は

X=(n-2)acos(nt+θ)+nacos{(n-2)t-θ}-2Rsin(t-θ)+2acos{(n-1)θ}

Y=-(n-2)asin(nt+θ)+nasin{(n-2)t-θ}-2Rcos(t+θ)+2asin{(n-1)θ}

で表される．同様に

m=n

A=-sint, B=cost, C=cos(n-1)t

cos(ｍθ+t)-cos(n-1)t=0

sin{(ｍθ+ｎt)/2}・sin{(ｍθ-(n-2)t)/2}=0

(ｍθ+ｎt)/2=0,π,2π,3π,・・・

(ｍθ-(n-2)t)/2=0,π,2π,3π,・・・

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