【１】フルヴィッツ曲線の回転

もっと簡単な形にできるかもしれない

逆回転では

-2sin((2n-2)β)-4cos(n-1)β=-4cos(n-1)β{sin(n-1)β+1}

2｛sin(nβ)+sin(n-2)β+2cosβ｝cos(nθ)=2{2sin(n-1)βcosβ+2cosβ｝cos(nθ)

2{cos(nβ)-cos(n-2)β-2sinβ}sin(nθ)==2{-2sin(n-1)βsinβ-2sinβ｝sin(nθ)= 0

-2sin((2n-2)β)-4cos(n-1)β=-4cos(n-1)β{sin(n-1)β+1}

2｛sin(nβ)+sin(n-2)β+2cosβ｝cos(nθ)=4{sin(n-1)β+1｝cosβcos(nθ)

2{cos(nβ)-cos(n-2)β-2sinβ}sin(nθ)==-4{sin(n-1)β+1｝sinβsin(nθ)= 0

C=cos(n-1)β

B=cosβ

A=-sinβ

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順回転では

2sin((2n-2)β)+4cos(n-1)β

2｛sin(nβ)+sin(n-2)β+2cosβ｝cos(n-2)θ)

2{cos(nβ)-cos(n-2)β-2sinβ}sin(n-2)θ)=0

C=-cos(n-1)β

B=cosβ

A=-sinβ

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Ａｓｉｎ（ｍθ）＋Ｂｃｏｓ（ｍθ）＝Ｃ

の形に整理されました．

　Ａ，Ｂ，Ｃの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが，ここで

　　ｃｏｓψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ａ／Ｂ

とおくと，

　　cos（ｍθ-ψ）＝Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)

より

　　ｍθ-ａｒｃｔａｎ（Ａ／Ｂ）＝arccos（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)）

　＝ａｒｃｔａｎ（（Ａ^2＋Ｂ^2−Ｃ^2）/Ｃ＾2）^(1/2)）

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　　ｍθ+β＝(n-1)βまたはπ+(n-1)β

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公転と自転の向きを逆方向にとると，フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ+θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｓｉｎ(β+θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ+θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｃｏｓ(β+θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

m=n

公転と自転の向きを同じ方向にとると，フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ-θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｓｉｎ(β-θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ-θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｃｏｓ(β-θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

m=n-2

で表される

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