正ｎ角形の内転形であるフルヴィッツ曲線について再考

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正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線の方程式は

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ＋（ｎ−１）ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ

で表されます．

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ＋ｎａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ＋ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ

　　ｘ＝−ａｃｏｓｎθ＋ｎａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝　ａｓｉｎｎθ−ｎａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ

魚の尻尾のような突起をもつ包絡線を楕円の平行曲線で近似して

　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

とおくと特異点を解消することができますから

　　ｘ＝−ｃｏｓｎθ＋ｎｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝　ｓｉｎｎθ−ｎｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

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　ｎ＝３とおくと

　　ｘ＝２（ｃｏｓθ）^3−３ｓｉｎθ

　　ｙ＝２（ｓｉｎθ）^3−３ｃｏｓθ

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　　ｘ＝（ｃｏｓθ）^3−３ｓｉｎθ

　　ｙ＝（ｓｉｎθ）^3−３ｃｏｓθ

　　ｘ＝３ｓｉｎθ＋ｃｏｓ^3θ

も特異点をもたずに正三角形に内接しながら回転することができる円以外の図形である。

一般に

　　ｘ＝ｗ（ｃｏｓθ）^3−３ｓｉｎθ

　　ｙ＝ｗ（ｓｉｎθ）^3−３ｃｏｓθ

荷重ｗが大きいときアステロイドに、ｗが小さいとき円に近づくことがわかる。

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