正ｎ角形の内転形であるフルヴィッツ曲線について再考

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線の方程式は

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ＋（ｎ−１）ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ

で表されます．

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ＋ｎａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ＋ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ

　　ｘ＝−ａｃｏｓｎθ＋ｎａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝　ａｓｉｎｎθ−ｎａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ

魚の尻尾のような突起をもつ包絡線を楕円の平行曲線で近似して

　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

とおくと特異点を解消することができますから

　　ｘ＝−ｃｏｓｎθ＋ｎｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝　ｓｉｎｎθ−ｎｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｎ＝３とおくと

　　ｘ＝２（ｃｏｓθ）^3−３ｓｉｎθ

　　ｙ＝２（ｓｉｎθ）^3−３ｃｏｓθ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝