ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０

を計算すると

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

∂ｙ／∂β＝Ｒcos（β＋γ−θ）＋ａ（ｎ−１）cos（（ｎ−１）β−θ）

∂ｘ／∂θ＝Ｒsin（β＋γ−θ）＋ａsin（（ｎ−１）β−θ）-ａ（ｎ−２）sin（（ｎ−２）θ）

∂x／∂β＝-Ｒsin（β＋γ−θ）-ａ（ｎ−１）sin（（ｎ−１）β−θ）

∂y／∂θ＝-Ｒcos（β＋γ−θ）-ａcos（（ｎ−１）β−θ）＋ａ（ｎ−２）cos（（ｎ−２）θ）

Ra(n-2)sin(-(n-2)β+γ)+Ra(n-2)sin(β＋γ−(n-1)θ）+ａ^2(n-1)(n-2)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=0

Rsin(β＋γ−(n-1)θ）+ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Rsin(（ｎ−１）β−(n-1)θ-(n-2)β＋γ）+ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

Rsin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)cos((n-2)β-γ）-Rcos(（ｎ−１）β−(n-1)θ)sin((n-2)β-γ）+ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ){Rcos((n-2)β-γ）+ａ(n-1)}-cos(（ｎ−１）β−(n-1)θ){Rsin((n-2)β-γ）}=Rsin((n-2)β-γ)

A={Rcos((n-2)β-γ）+ａ(n-1)}

B={Rsin((n-2)β-γ）}

C={Rsin((n-2)β-γ）}=B

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　　Ａsin（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）-Ｂcos（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）＝Ｃ

の形に整理されます．

　ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　sin（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ-ψ）＝C／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)=ｓｉｎψ

より

　　（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ-ψ=ψ

　　（ｎ−１）θ=（ｎ−１）β−2ψ

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

これで，φをβ，θ（β）の関数として表すことができ，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となるというわけです．

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　　sin（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ-ψ）＝C／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)=ｓｉｎψ

は

２cos（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）/2sin（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ-2ψ）/2＝0

とすべきであって、

（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ＝π/2，3π/2,5π/2、・・・

（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ-2ψ＝0、π、2π、・・・

これより

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ）） が得られる。

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