ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ－θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ－１）β－θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ－２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ－θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ－１）β－θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ－２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）－（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０

を計算すると

　　θ＝β－２／（ｎ－１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ－２）β－γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ－２）β－γ）＋（ｎ－１）ａ））

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∂ｙ／∂β＝Ｒcos（β＋γ－θ）＋ａ（ｎ－１）cos（（ｎ－１）β－θ）

∂ｘ／∂θ＝Ｒsin（β＋γ－θ）＋ａsin（（ｎ－１）β－θ）-ａ（ｎ－２）sin（（ｎ－２）θ）

∂x／∂β＝-Ｒsin（β＋γ－θ）-ａ（ｎ－１）sin（（ｎ－１）β－θ）

∂y／∂θ＝-Ｒcos（β＋γ－θ）-ａcos（（ｎ－１）β－θ）＋ａ（ｎ－２）cos（（ｎ－２）θ）

Ra(n-2)sin(-(n-2)β+γ)+Ra(n-2)sin(β＋γ－(n-1)θ）+ａ^2(n-1)(n-2)sin(（ｎ－１）β－(n-1)θ)=0

Rsin(β＋γ－(n-1)θ）+ａ(n-1)sin(（ｎ－１）β－(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Rsin(（ｎ－１）β－(n-1)θ-(n-2)β＋γ）+ａ(n-1)sin(（ｎ－１）β－(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

Rsin(（ｎ－１）β－(n-1)θ)cos((n-2)β-γ）-Rcos(（ｎ－１）β－(n-1)θ)sin((n-2)β-γ）+ａ(n-1)sin(（ｎ－１）β－(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

sin(（ｎ－１）β－(n-1)θ){Rcos((n-2)β-γ）+ａ(n-1)}-cos(（ｎ－１）β－(n-1)θ){Rsin((n-2)β-γ）}=Rsin((n-2)β-γ)

A={Rcos((n-2)β-γ）+ａ(n-1)}

B={Rsin((n-2)β-γ）}

C={Rsin((n-2)β-γ）}=B

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　　Ａsin（（ｎ－１）β－（ｎ－１）θ）-Ｂcos（（ｎ－１）β－（ｎ－１）θ）＝Ｃ

の形に整理されます．

　ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　sin（（ｎ－１）β－（ｎ－１）θ-ψ）＝C／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)=ｓｉｎψ

より

　　（ｎ－１）β－（ｎ－１）θ-ψ=ψ

　　（ｎ－１）θ=（ｎ－１）β－2ψ

　　θ＝β－２／（ｎ－１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ－２）β－γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ－２）β－γ）＋（ｎ－１）ａ））

これで，φをβ，θ（β）の関数として表すことができ，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となるというわけです．

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