ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０

を計算すると

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

∂ｙ／∂β＝Ｒcos（β＋γ−θ）＋ａ（ｎ−１）cos（（ｎ−１）β−θ）

∂ｘ／∂θ＝Ｒsin（β＋γ−θ）＋ａsin（（ｎ−１）β−θ）-ａ（ｎ−２）sin（（ｎ−２）θ）

∂x／∂β＝-Ｒsin（β＋γ−θ）-ａ（ｎ−１）sin（（ｎ−１）β−θ）

∂y／∂θ＝-Ｒcos（β＋γ−θ）-ａcos（（ｎ−１）β−θ）＋ａ（ｎ−２）cos（（ｎ−２）θ）

Ra(n-2)sin(-(n-2)β+γ)+Ra(n-2)sin(β＋γ−(n-1)θ）+ａ^2(n-1)(n-2)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=0

Rsin(β＋γ−(n-1)θ）+ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Rsin(β＋γ)cos(n-1)θ-Rcos(β＋γ)sin(n-1)θ

ａ(n-1)sin（ｎ−１）βcos(n-1)θ-ａ(n-1)cos（ｎ−１）βsin(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

{Rsin(β＋γ)+ａ(n-1)sin（ｎ−１）β}cos(n-1)θ

-{Rcos(β＋γ)+ａ(n-1)cos（ｎ−１）β}sin(n-1)θ=Rsin((n-2)β-γ)

A={Rsin(β＋γ)+ａ(n-1)sin（ｎ−１）β}

B={Rcos(β＋γ)+ａ(n-1)cos（ｎ−１）β}

C=Rsin((n-2)β-γ)

A^2+B^2＝R^2+(ａ(n-1))^2+2Rａ(n-1)cos((n-2)β-γ)

A^2+B^2-C^2＝R^2cos^2((n-2)β-γ)+(ａ(n-1))^2+2Rａ(n-1)cos((n-2)β-γ)

=(Rcos((n-2)β-γ)+ａ(n-1))^2

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　　Ａcos（（ｎ−１）θ）-Ｂsin（（ｎ−１）θ）＝Ｃ

の形に整理されます．

　ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　cos（（ｎ−1）θ+ψ）＝Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)

より

　　（ｎ−1）θ=-ａｒｃcos（Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)）＋ａｒｃcos（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)）

　＝−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｔａｎ（（Ａ^2＋Ｂ^2−Ｃ^2）^(1/2)/C）

　なかなか合致しない・・・

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