【２】デカルトの円定理

たがいに接する3個の円に接する第4の描くことができる。・・・

六斜術の公式をさらに変形すると，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＋１／ｄ）^2＝２（１／ａ^2＋１／ｂ^2＋１／ｃ^2＋１／ｄ^2）　　　（デカルトの円定理）

が得られます．あるいは，曲率（半径の逆数）をａ，ｂ，ｃ，ｄとおくと，平面上の互いに接し合う４つの円の間に関係式

　　２（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2

が成り立つ（ひとつの円の内側に他の３円が内接しているときが負号をつける）．

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［Ｑ］互いに接する半径１の３つの円がある．こられに内側から接する第４の円，外側から接する第４の円の半径を求めよ．

［Ａ］ピタゴラスの定理を使っても解ける問題を思われるが，ここではデカルトの円定理を用いてみたい．

　３つの円の半径は１，第４の円の半径をｄとすると

　　（３＋１／ｄ）^2＝６＋２／ｄ^2　→　１／ｄ＝３±２√３

　内側から接する第４の円の半径は（正の方を採用して）

　　ｄ＝１／（３＋２√３）＝（３−２√３）／３

　外側から接する第４の円の半径は（負の方を採用して）

　　ｄ＝１／（２√３−３）＝（２√３＋３）／３

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