シュタイナ−は１４才まで読み書きを習わなかったのですが，有名な教育者ペスタロッチのもとで学ぶやいなや，すっかり数学の虜になり，多くの美しい定理を発見しました．

　そのひとつが，シュタイナーの定理

「小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．」です．

　シュタイナーが考えた証明法は，最初の２つの小円と大円を反転して，２つの同心円に変換するというものです．しかし，驚くべきはこれだけではなく，完全な円環をなす場合，

［１］円鎖の中心を結ぶとある楕円上に並ぶ

［２］円鎖同士の接点はある円上に並ぶ

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　反転によって，接する２円は接する２円か，円とその接線か，平行な２直線のいずれかにに移る．また，平面上の交わらない２つの円を同心円に移す写像が存在する．シュタイナーやソディーの定理はこれらの事実に基づいて証明されるのである．反転の応用について補足しておきたい．

　接する円の族に関する定理では何百という美しい定理があるが，シュタイナー円鎖について述べておきたい．小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．これがシュタイナー円鎖である．

　最も簡単なものとしては，たとえば，半径が３と１の同心円に対しては６個の単位円よりなるシュタイナー円鎖が存在し，円の中心の軌跡は半径２の円となる（円の最密充填）．シュタイナー円鎖をなす円の中心の軌跡は楕円となる．

　アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列はシュタイナーの円鎖の特別な場合になっていて，円の中心はすべて基線上に長径をもつ楕円の上にのっている．この円列の円の中心から基線までの距離は半径の２倍，４倍，８倍，・・・となる（パッポス）．

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