【１】ビークロフトの定理

　「４つの円が互いに接している場合，それら４つの円と接点を共有する互いに接する別の４つの円が存在する．」

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【２】５円定理

　「あるひとつの円周Ｃ上に中心をもつ５つの円を５円のそれぞれが隣の円とＣ上に交点をもつようにして描く．５つの円は同じ大きさである必要はない．このとき，もう一つの交点を結ぶと星形五角形となり，その頂点は５つの円周上にある．」

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【３】７円定理

　まず，ひとつの円を描きその周りに６個の円を並べる．それら６つの円はどんな大きさでもよい（直線でもよい）が両隣の円および最初の円に接するようにする．

　このように６個の連結した円の鎖がひとつの円に外接しているとき，６つの円が最初の円に接している接点のうち，相対する点同士を結ぶ３本の直線は１点で交わる．

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【４】ジョンソンの定理

　同じ大きさの３つの円が共通する１点を通過する場合，他の３つの交差点は同じ大きさの別の円上にある．

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【５】ミゲルの定理

［１］まずひとつの円を考えて，そのうえに４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄをとる．次にＡ，Ｂを通る円，Ｂ，Ｃを通る円，Ｃ，Ｄを通る円、Ｄ，Ａを描く．このとき，これらの４円の交点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓはひとつの円上にある．

［２］三角形ＡＢＣの辺上にＡ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．このとき，Ａ，Ｂ’，Ｃ’を通る円，Ａ’，Ｂ，Ｃ’を通る円，Ａ’，Ｂ’，Ｃを通る円は１点で交わる．

［３］３つの円を考え，それらの任意の２つは２点で交わるとする．このとき２つの円の共通弦３つは１点で交わる．

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