【３】おまけ（数珠つなぎの円板）

　１世紀半前（１８５６年）の和算の有名な問題に「数珠つなぎの円板」がある．

（Ｑ）同じ大きさの円がｎ個連結して輪を作っている．円の中心を結んでできる多角形の内側にある面積と外側にある面積を求めよ．

（Ａ）ｎ個の円は互いに重なり合わず接しているから円の中心を結んでできる多角形はｎ角形である．その内角の和はπ（ｎ−２）となるが，内側にある扇形の面積は中心角に比例するから，これは円

　　π（ｎ−２）／２π＝ｎ／２−１

個分の面積に相当する．したがって，外側にある面積は円ｎ／２＋１個分である．

　円が何個つながっていようともｎに関係なく外側の面積は内側の面積よりも常に円２個分広いわけである．このことは少なくとも私にとっては意外な結果であり，いまでも強く印象に残っている．

　ところで，この問題を解析的に解こうとすると（グレブナー基底を用いた）ロボットアームの可動範囲の特定にも応用できそうな現代的な問題になる．以下，その概略を述べてみよう．

　単位円（半径１）の場合について考えてみるが，円の中心を（ｘi，ｙi）とし，（ｙi+1−ｙi）／（ｘi+1−ｘi）＝ｔａｎθiとおく．（ｘ1，ｙ1）＝（０，０），（ｘ2，ｙ2）＝（２，０）として標準化するが，

　　ｘ1＝ｘn+1＝０，ｙ1＝ｙn+1＝０，ｃｏｓθ1＝１，ｓｉｎθ1＝０

　隣り合う円は接することより

　　ｘn+1−ｘn＝２ｃｏｓθn，ｙn+1−ｙn＝２ｓｉｎθn

　　ｘn＝２Σｃｏｓθn，ｙn＝２Σｓｉｎθn

ここで，円が連結して輪を作っていることより

　　（Σｃｏｓθn）^2＋（Σｓｉｎθn）^2＝１

　　ｃｏｓθ2＋ｃｏｓθ3＋・・・＋ｃｏｓθn＝−１

　　ｓｉｎθ2＋ｓｉｎθ3＋・・・＋ｓｉｎθn＝０

　また，円同士が互いに重ならないことから

　　（ｘj−ｘk）^2＋（ｙj−ｙk）^2≧１

このことから，たとえばｎ＝４では

　　ｃｏｓ（θ2−θ3）≧−１／２，ｃｏｓ（θ3−θ4）≧−１／２

　　ｃｏｓ（θ2−θ3）＋ｃｏｓ（θ3−θ4）＋ｃｏｓ（θ4−θ2）≧−１

　　ｃｏｓθ2≧−１／２，ｃｏｓθ2＋ｃｏｓθ3＋ｃｏｓ（θ2−θ3）≧−１

など多くの付帯条件が成立することが必要になる．

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