まず最初に，ｎ個の円が接するあるいは交わる一連の定理（接円定理，交円定理）を紹介するところから始めることにしよう．

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［１］もうひとつの４円定理・・・傍斜術

　コラム「和算と算額」で紹介したデカルトの円定理は，互いに接する４個の円の半径の逆数の間の等式であったが，和算ではもうひとつの４円定理・・・傍斜術も得られていた．傍斜術は和算における円の接触問題では大事な定理であったとのことである．

　まず，ひとつの円Ｏ（ｄ）を描き，その周りに３個の円Ｏ（ａ），Ｏ（ｂ），Ｏ（ｃ）を外接させる．この４円は連結しているが、デカルトの円定理のように互いに接しているわけではない．このとき，接していないＯ（ａ）とＯ（ｃ）の外共通接線（傍斜）の長さは

　　２｛（ｂｃｄ（ａ＋ｂ＋ｄ））^(1/2)＋（ａｂｄ（ｃ＋ｂ＋ｄ））^(1/2)｝／（ｂ＋ｄ）

で与えられる．

　また，三円傍斜術では，まずひとつの円Ｏ（ａ）を描き，その周りに２円Ｏ（ｂ），Ｏ（ｃ）を外接させる．この３円は連結している必要はない．Ｏ（ａ）とＯ（ｂ）の接点ＰとＯ（ａ）とＯ（ｃ）の接点Ｑ，Ｏ（ｂ）とＯ（ｃ）の外共通接線（傍斜）の長さをｄとすると，このとき

　　ＰＱ＝ａｄ／（（ａ＋ｂ）（ａ＋ｃ））^(1/2)

で与えられる．

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［２］５円定理

　あるひとつの円周Ｃ上に中心をもつ５つの円を５円のそれぞれが隣の円とＣ上に交点をもつようにして描く．５つの円は同じ大きさである必要はない．このとき，もう一つの交点を結ぶと星形五角形となり，その頂点は５つの円周上にある．

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［３］６円定理

　まず三角形ＡＢＣの２辺ｂ，ｃに接する第１円を描く．次に第１円とｃ，ａに接する第２円を描く．さらに第２円とａ，ｂに接する第３円を描く．さらに第３円とｂ，ｃに接する第４円を描く．さらに第４円とｃ，ａに接する第５円を描く．さらに第５円とａ，ｂに接する第６円を描く．

　このとき，第６円は第１円に接し，円鎖は完結する．つまり第７円が第１円に一致するというわけである．

　三角形ビリヤードの場合，球があたる壁を中心として鏡像を貼り付けていくと，６個目の鏡像で最初の三角形を平行移動させたものが登場する．このことは任意の位置から特定の角度でビリヤードの球を発射させると６回壁にあたった後，最初と同じ位置・同じ角度で戻ってくることができることを意味している．６円定理もきっとこのことと関係して，円よりは三角形の性質の表れと思われる．

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［４］７円定理

　まず，ひとつの円を描きその周りに６個の円を並べる．それら６つの円はどんな大きさでもよい（直線でもよい）が両隣の円および最初の円に接するようにする．

　このように６個の連結した円の鎖がひとつの円に外接しているとき，６つの円が最初の円に接している接点のうち，相対する点同士を結ぶ３本の直線は１点で交わる．

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