【１】モンジュの３円定理

　平面上に相異なる半径で互いに交わらない３円があるとき，それらのうちの２円ずつに接する接線の３交点は一直線上に並ぶ．

　この定理は２次元における定理であるが，３円を３球に変えて，３次元空間で見事に証明されるのであるが，これは特筆すべきことであろう．すなわち，・・・

　空間内に相異なる半径で互いに交わらない３球があるとき，それらのうちの２球ずつに接する接円錐の３頂点は同一平面上にある．

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【２】デカルトの４円定理

　３つの円のそれぞれが他の２つの円と接するように配置する．ここで第４の円を３円すべてと接するように配置させることができる．そのとき，

　［１］３円に囲まれた領域（＋）

　［２］３円を取り囲む領域（−）

の２通りの配置が可能である．

　このとき，円の半径をｒi，曲率をｃi＝１／ｒiとすると，

　　ｃ1^2＋ｃ2^2＋ｃ3^2＋ｃ4^2＝１／２（ｃ1＋ｃ2＋ｃ3＋ｃ4）^2

が成り立つ．

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【３】ミケルの５円定理

　５円定理「あるひとつの円周Ｃ上に中心をもつ５つの円を５円のそれぞれが隣の円とＣ上に交点をもつようにして描く．５つの円は同じ大きさである必要はない．このとき，もう一つの交点を結ぶと星形五角形となり，その頂点は５つの円周上にある．」を，五角形から始めて星形五角形を作り，三角形の外接円の交点が同一円周上にあるとした定理である．

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【４】７円定理（１９７４年）

まず，ひとつの円を描きその周りに６個の円を並べる．それら６つの円はどんな大きさでもよい（直線でもよい）が両隣の円および最初の円に接するようにする．

　このように６個の連結した円の鎖がひとつの円に外接しているとき，６つの円が最初の円に接している接点のうち，相対する点同士を結ぶ３本の直線は１点で交わる．

「大円に内接し，それぞれの円も両側の円に接する６つの円を描く．大円上にある６個の接点は３対に分けられるが，その３対の２点を直線で結ぶと，３直線はつねに１点で交わる．」

連鎖する６円が７番目の円に外接する場合を考える。

６円のうち、一つおきの半径が無限大になったときの極限を考えると、３つの円は直線（三角形の辺）に、残りの３つの円は三角形に内接する円になる。

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【５】チェバの定理

三角形の内部に点をとり、その点から三角形の頂点にそれぞれ直線を引く。これらの直線によって各辺は２つに分けられる。

それぞれの長さをa,b,c,d,e,fとすると、ace=bdfが成り立つ。

【６】春木の定理

三角形の代わりに3つ円の交点間の距離を考えると、ace=bdfが成り立つ。

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