ラマヌジャンは分割数p(n)が満たす合同式について

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　　ｐ（２５ｎ＋２４）＝０　　（ｍｏｄ５^2）

　　ｐ（１２５ｎ＋９９）＝０　　（ｍｏｄ５^3）

　　ｐ（４９ｎ＋４７）＝０　　（ｍｏｄ７^2）

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

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（証）φ(q)=Π(1-q^k)とおく．

　　Σp(5n+4)q^n=5{φ(q^5)}^5/{φ(q)}^6

の右辺の展開を考えると合同式が証明される．

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