連分数は関数を近似するときにも有効である。

tanzの連分数から

2次近似　　tanz=z(15-z^2)/(15-6z^2)

が得られる。z=π/4のとき、0.9998となるが、

tanz=z+z^3/3+z^5/5ではこれよりも32倍も大きい誤差を生じる。

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tanzのテイラー展開は

tanz=z+z^3/3+2z^5/15+17z^7/315+62z^9/2835+・・・=(ax+bx^3+cx^5)/(d+ex^2+fx^4)

(ax+bx^3+cx^5)=(d+ex^2+fx^4)(z+z^3/3+2z^5/15+17z^7/315+62z^9/2835+・・・)

=dx+(d/3+e)x^3+(2d/15+e/3+f)x^5+(17d/315+2e/15+f/3)x^7+(62d/2835+17e/315+2f/15)x^9・・・

a=d

b=d/3+e

c=2d/15+e/3+f

17d/315+2e/15+f/3=0

62d/2835+17e/315+2f/15=0

17d+42e=-105f

62d+153e=-378f

1054d+2604e=-6510f

1057d+2601e=-6426f

3e=-84f,e=-28f

17d=-105f+1176f=1071f,d=63f

f=1とおくとe=-28,d=63

b=21-28=-7

c=2・63/15-28/3+1

すべて15倍すると

f=15,e=-420,d=945

b=-105,c=126-140+15=1

tanz=z+z^3/3+2z^5/15+17z^7/315+62z^9/2835+・・・=(945x-105x^3+x^5)/(945-420x^2+15x^4)

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