(5)^1/3はx^3-5=0の根であるから代数的数

(3)^1/4はx^4-3=0の根であるから代数的数

代数的でない数を超越数という

また、数xがn次で有理近似可能とは

|x-p/q|

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ディリクレの近似定理

xを任意の無理数とするとき、無限に多くの整数p,qに対して、不等式

|x-p/q|<1/q^2

が成り立つ。

右辺を

|x-p/q|<1/2q^2

のように狭めても無限に解があることを保証できるであろうか？

【２】フルヴィッツの定理

|x-p/q|<1/√5q^2 には解が無限に存在する。この定数をこれ以上小さくすると定理の成り立たないｘが存在する。

黄金比はそのような例である。ｃ＜1/√5であれば、

|x-p/q|には有限個の解しかない。

【３】ロスの定理（１９５５年）

代数的無理数はすべて２次で有理近似可能であり、それ以上ではない。

|x-p/q|を満たす有理数が無限にあるようなk(x)が存在する。

ｄ＞２であれば、

|x-p/q|には有限個の解しかない。たとえば、

|π-p/q|<1/q^20

には有限個の解しかない。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝