Π1/(1-x^n)=Σp(n)x^n

制限のない分割数に対するラマヌジャンの漸近法則

p(n)〜exp(π(2n/3)^1/2)/4n3^1/2

分割数は急激に増大する。

一方、オイラーの五角数定理は,

Π(1-x^n)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)・・・=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+・・・

=Σ(-1)^kx^g(k)

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一般化した連分数を含む、ラマヌジャンの素晴らしい発見を紹介したい。制限のある分割における

ロジャース・ラマヌジャンの恒等式の系である連分数を含む次の式である。

それは黄金比をｇとして

exp(-2π/5)/(5^1/4g^1/2-g)=1+exp(-2π)/1+・・+exp(-4π)/1+・・+exp(-6π)/1+・・

exp(-2π/5)/(5^1/4g^-1/2-g^-1)=1+exp(-π)/1+・・+exp(-2π)/1+・・+exp(-3π)/1+・・ 　　１

5^1/4g^1/2={(5+√5)/2}^1/2

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もうひとつ、フィボナッチ数・黄金比を含む無限級数・無限連分数を紹介したい。

無限級数=1/2^[g]+1/2^[2g]+1/2^[3g]+・・・

＝無限連分数＝1+1/2^0+・・+1/2^1+・・+1/2^1+・・+1/2^2+・・1/2^3+・・+1/2^5+・・+1/2^8+・・+1/2^13+・・1/2^21+・・

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