積分∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=?について，

［１］k=iの場合，第３項までだと　　1+1/2+1/3<2

［２］k=2i+1の場合，第６項までだと　　1+1/3+･･･+1/13<2

［３］k=3i+1の場合，第１０項まで計算しても　　1+1/4+･･･+1/28+1/31<2

であり，このとき，

　　∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=π/2

となることをみてきた．

［４］k=2^iの場合

はとくに興味津々である．

　　1+1/2+1/4+1/8+･･･+1/2^(i-1)=2(1-1/2^i)<2

が成り立つからである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=?

　ｋ＝２^i，ｋ＝３^iの場合について，阪本ひろむ氏＆Mathematicaに調べてもらった．

　　∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/4)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/8)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)･･･sinc(x/512)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)･･･sinc(x/1024)dx=π/2

ここで打ち切り．

　　∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/9)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/9)sinc(x/27)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/9)･･･sinc(x/3^9)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/9)･･･sinc(x/3^10)dx=π/2

ここで打ち切り．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】∫(0,∞)Πsin(kx)/(kx)dx=?

　　∫(0,∞)sinc(x)=π/2

　　∫(0,∞)sinc(x)sinc(2x)dx=π/4

　　∫(0,∞)sinc(x)sinc(2x)sinc(4x)dx=π/8

　　∫(0,∞)sinc(x)sinc(2x)sinc(4x)sinc(8x)dx=π/16

　　∫(0,∞)sinc(x)=π/2

　　∫(0,∞)sinc(x)sinc(3x)dx=π/6

　　∫(0,∞)sinc(x)sinc(3x)sinc(9x)dx=π/18

　　∫(0,∞)sinc(x)sinc(3x)sinc(9x)sinc(27x)dx=π/54

　置換積分により

　　∫(0,∞)Πsin(x*n^i)/(x*n^i)dx=1/n^k∫(0,∞)sin(x)/(x)dx

すなわち，本質的に同じ積分となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝