【１】∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=?

　（その２）では奇数係数だけを扱ったが，整数係数の場合について，阪本ひろむ氏＆Mathematicaに調べてもらった．

　　∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)sinc(x/4)dx=1727π/3456

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)･･･sinc(x/5)dx=20652479π/41472000

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)･･･sinc(x/7)dx=24860948333867803π/50185433088000000

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［参］David Borwein,Johnathan M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals; The Ramanujan Journal, in press. CECM preprint 99,142 (available from http://www.cecm.sfu.ca/preprints)

によると

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx

は，Σｋ＜２のときπ/2となるということである．

　すなわち，k=1/(2i+1)の場合，第６項までだと

　　1+1/3+･･･+1/13<2

だが，第７項まででは

　　1+1/3+･･･+1/13+1/15>2

また，k=1/(3i+1)の場合，第１０項まで計算しても

　　1+1/4+･･･+1/28+1/31<2

なのである．

　整数係数の場合，第３項までだと

　　1+1/2+1/3<2

だが，第４項になると

　　1+1/2+1/3+1/4>2

なのである．

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【２】∫(0,∞)Πsin(x/2k)/(x/2k)dx=?

　偶数係数の場合は

　　∫(0,∞)sinc(x/2)=π

　　∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)dx=π

　　∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/6)dx=π

　　∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/6)sinc(x/8)dx=1727π/1728

　　∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/6)･･･sinc(x/10)dx=20652479π/2073600

　　∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/6)･･･sinc(x/12)dx=24860948333867803π/2073600000

　置換積分により

　　∫(0,∞)Πsin(x/2k)/(x/2k)dx=2∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx

すなわち，本質的に同じ積分となる．

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