【３】シンク積分

シンク積分（あるいはディリクレ積分）

　　∫(0,∞)sincxdx=∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

はよく知られていて，複素積分などを用いて求めることができる．

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　また，決して有名ではないが，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)dx=π/2

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　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)dx=π/2

も成り立ち，これらは一般に

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx=π/2

と書くことができる．

　Mathematicaを用いて計算してみても，

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,

　　k=1/(2i+1),i=0~

において，ｉ≦６でπ/2となる．

　ところが，ｉ＝７のとき，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)sinc(x/15)dx=R*π

　　R=467807924713440738696537864469/935615849440640907310521750000

　　 =0.499999999992646･･･

となって，π/2とはならないのである．

　これは数式処理ソフトのバグのようにみえるかもしれないが，このような器用なバグは作ることは難しい．いろいろ試してみると間違いであるとは考えにくく，本件では「数式処理ソフト」は正しいということになりそうである．

　さらに検証してみると，ｉ≧７で右辺はπ/2にはならず，ｉ＝８では，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/15)sinc(x/17)dx=R*π

　　R=17708695183056190642497315530628422295569865119/354173907883011952948983529875210935040000000

ｉ≧９でも同様に，有理数ではあるが簡単なものにはならなかった．

　次に，係数を変えて

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,

　　k=1/(3i+1),i=0~

を計算してみた結果，ｉ≦１０でπ/2となった．ｉ≧１１は計算しなかったが，一体どうなっているのだろう．（これ以外のケースも試したが，感心なことに，Mathematicaではそれなりに答えを出してくれるのである．）

　この件に関しては証明ができればさらに面白いのだが，ルベーグ積分の可能性との関連で，証明は面倒になりそうである．実際に証明に挑戦してみないとわからないが，数式ソフトの問題ではなく，証明可能な式のようだ．

　　∫(0,∞)sincxdx=∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

という事実から何とかするのだと思うが，・・・

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