【１】デカルトの４円定理

　３つの円のそれぞれが他の２つの円と接するように配置する．ここで第４の円を３円すべてと接するように配置させることができる．そのとき，

　［１］３円に囲まれた領域（＋）

　［２］３円を取り囲む領域（−）

の２通りの配置が可能である．

　このとき，円の半径をｒi，曲率をｃi＝１／ｒiとすると，

　　ｃ1^2＋ｃ2^2＋ｃ3^2＋ｃ4^2＝１／２（ｃ1＋ｃ2＋ｃ3＋ｃ4）^2

が成り立つ．

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【２】ソディ・ゴセットのｎ＋１球定理

デカルトの関係式は高次元に一般化することができる。

　ｎ次元空間では，互いに接するｎ＋２個の球の間に

　　ｃ1^2＋ｃ2^2＋ｃ3^2＋・・・＋ｃn+2^2＝１／ｎ（ｃ1＋ｃ2＋ｃ3＋・・・＋ｃn+2）^2

が成り立つ．

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【３】ソディの首飾り定理

　互いに接する２球Ｓ1，Ｓ2を取り囲む別の球Ｓ3あるとする．

　このとき，Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3に接し，それそれが隣接する６球を環状に配置することができる．実際には，１球を決めると残りの５球は一意に定まる．６つの球の中心は同一平面上にあるから，シュタイナーの定理の３次元版になっている．

　このとき，

　　ｃ1＋ｃ4＝ｃ2＋ｃ5＝ｃ3＋ｃ6

が成り立つ．

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