ｘ^yの形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする．

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

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【１】ゴールドバッハの公式

　　Σ１／（ａn−１）＝１　　（ｎ≧２）

すなわち、1/3+1/7+1/8+1/15+1/26+1/31+1/35+・・・=1

　なお，近年には

　　Σ１／（ａn＋１）＝π^2／３−５／２　　（ｎ≧２）

が成り立つことも証明されたという．

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【２】オイラーの証明

　x=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+・・・

から

1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+・・・

をひくと

x-1=1+1/3+1/5+1/6+1/7+1/9+1/10+・・・（分母が２のベキのものはなくなる）

1/2=1/3+1/9+1/27+1/81+1/243+・・・

をひくと

x-1-1/2=1+1/5+1/6+1/7+1/10+1/11+・・・（分母が３のベキのものはなくなる）

1/4=1/5+1/25+1/125+1/625+・・・

をひくと

x-1-1/2-1/4=1+1/6+1/7+1/10+1/11+・・・（分母が５のベキのものはなくなる）

1/5=1/6+1/36+・・・

1/6=1/7+1/49+・・・

1/9=1/10+1/100+・・・

1/10=1/11+1/121+・・・

をひくことを繰り返すと

x-1-1/2-1/4-1/5-1/6-1/9-・・・=1

x-1=1+1/2+1/4+1/5+1/6+1/9+・・・（分母nはn+1がベキになっていないもの）

　x=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+・・・

から

x-1=1+1/2+1/4+1/5+1/6+1/9+・・・（分母nはn+1がベキになっていないもの）

をひくと

1=1/3+1/7+1/8+1/15+1/26+1/31+1/35+・・・（分母nはn+1がベキになっているもの）

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