Ｓj＝Σ１／（８ｎ＋ｊ）

とおくと

　π＝４Ｓ1－２Ｓ4－Ｓ5－Ｓ6

　また，１の８乗根をζ＝（１＋ｉ）／√２として，

　　Ｌj＝ｌｎ（１－ζ^j／√２）

とおくと，

　　Ｌ0＝ｌｎ（１－１／√２）

　　Ｌ1＝１／２ｌｎ（１／２）－ｉａｒｃｔａｎ１＝Ｌ7~

　　Ｌ2＝１／２ｌｎ（３／２）－ｉａｒｃｔａｎ（１／／√２）＝Ｌ6~

　　Ｌ3＝１／２ｌｎ（５／２）－ｉａｒｃｔａｎ（１／３）＝Ｌ5~

　　Ｌ4＝ｌｎ（１＋１／√２）

　－Ｓj／２^j/2＝１／８（Ｌ0＋Ｌ1／ζ^j＋Ｌ2／ζ^2j＋Ｌ3／ζ^3j＋Ｌ4／ζ^4j＋Ｌ5／ζ^5j＋Ｌ6／ζ^6j＋Ｌ7／ζ^7j）

　π＝４Ｓ1－２Ｓ4－Ｓ5－Ｓ6＝２Ｌ0－（２－２ｉ）Ｌ1＋２Ｌ4＋（２＋２ｉ）Ｌ7

　ｌｎ２＝Ｓ2＋Ｓ4／２＋Ｓ6／４＋Ｓ8／８

　ｌｎ３＝２Ｓ2＋Ｓ6／２

　ｌｎ５＝２Ｓ2＋２Ｓ4＋Ｓ6／２

　√２ｌｎ（√２＋１）＝Ｓ1＋Ｓ3／２＋Ｓ5／４＋Ｓ7／８

　√２ａｒｃｔａｎ（１／√２）＝Ｓ1－Ｓ3／２＋Ｓ5／４－Ｓ7／８

　ａｒｃｔａｎ（１／３）＝Ｓ1－Ｓ2－Ｓ4／２－Ｓ5／４

　０＝８Ｓ1－８Ｓ2－４Ｓ3－８Ｓ4－２Ｓ5－２Ｓ6＋Ｓ7

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　　Ａ＝１／８ｌｎ（１＋ｚ）／（１－ｚ）

　　Ｂ＝１／２^7/2ｌｎ（１＋√２ｚ＋ｚ^2）／（１－√２ｚ＋ｚ^2）

　　Ｃ＝１／４ａｒｃｔａｎ（ｚ）

　　Ｄ＝１／２^5/2ａｒｃｔａｎ（√２ｚ／（１－ｚ^2））

　　Σｚ^8n+1／（８ｎ＋１）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ

　　Σｚ^8n+3／（８ｎ＋３）＝Ａ－Ｂ－Ｃ＋Ｄ

　　Σｚ^8n+5／（８ｎ＋５）＝Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ

　　Σｚ^8n+7／（８ｎ＋７）＝Ａ＋Ｂ－Ｃ－Ｄ

　一般に

　　Σｚ^mn+a／（ｍｎ＋ａ）

＝－１／ｍ｛ｌｎ（１－ｚ）＋（－１）^a（m even）ｌｎ（１＋ｚ）＋ｆ（ｚ））

ｆ（ｚ）＝Σｃｏｓ２πｎａ／ｍ・ｌｎ（１－２ｚｃｏｓ２πｎ／ｍ＋ｚ^2）－２ｓｉｎ２πｎａ／ｍ・ａｒｃｔａｎ（ｚｓｉｎ（２πｎ／ｍ）／（１－ｚｃｏｓ）２πｎ／ｍ））

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