【２】制限付き分割数

　　オイラー数は非制限分割数ですが，任意の正の整数に対して，ある一定の条件を満たす分割と別の分割が同数存在するという主張を分割恒等式といいます．１９４８年，オイラーは異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという注目すべき結果を証明しています．

（証）

　　q(n)：ｎの奇数のみを用いた分割の総数

　　r(n)：ｎの互いに異なる数を用いた分割の総数

とすると

　　Σq(n)x^n=1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)･･･

　　Σr(n)x^n=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･

であり，

　　(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･

　　=(1-x^2)/(1-x)･(1-x^4)/(1-x^2)･(1-x^6)/(1-x^3)･･･

　　=1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)･･･

と書き換えることができますから，両者の母関数は一致します．

　例えば５を異なる数に分割するのは5,4+1,3+2の３通り，奇数に分割するのは5,3+1+1,1+1+1+1+1の３通りというわけです．オイラーの分割恒等式が最初のものですが，分割恒等式はいくらでも存在し，ここに掲げたもの以外にも多くの予期せぬ分割恒等式が存在するのです．

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［１］ロジャーズ・ラマヌジャンの第１恒等式

　　「１の位が１，４，６，９の数への分割と各因子の差が２以上ある分割とは同数ある．」

　１の位が１，４，６，９の数とはmod5で±１と合同になる整数のことです．分割の構成数の差が２以上という制限を設けた分割と構成数が５ｎ＋１または５ｎ＋４の分割は恒に等しいというののが第１恒等式で，例えば５を１，４，６，９に分割するのは4+1,1+1+1+1+1の２通り，各因子の差が２以上ある分割は5,4+1の２通り．

（証）ヤコビの３重積公式を使えば

　　Σs(n)x^n=Σq^(k^2)/(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^k)=1/(1-q^5m-1)(1-q^5m-4)

すなわち

　　1+q/(1-q)+q^4/(1-q)(1-q^2)++q^9/(1-q)(1-q^2)(1-q^3)+･･･

　　=1/(1-q)(1-q^4)(1-q^6)(1-q^9)(1-q^11)(1-q^14)(1-q^19)･･･

である．

　この分割恒等式は無名の数学者ロジャーズ(1894)，また彼とは独立にラマヌジャン(1913)によって得られました．ロジャース・ラマヌジャン恒等式は，最初ロジャースにより発見されたのですが，誰の興味も惹かず忘れ去られていたところ，ラマヌジャンにより別証明が与えられたというわけです．

［２］ロジャーズ・ラマヌジャンの第２恒等式

　　「１の位が２，３，７，８の数への分割と因子は２以上で各因子の差が２以上ある分割とは同数ある．」

　これはmod5で±２と合同になる整数のことです．例えば５を２，３，７，８に分割するのは3+2の１通り，因子は２以上で各因子の差が２以上ある分割は5の１通り．

（証）ヤコビの３重積公式を使えば

　　Σt(n)x^n=Σq^(k(k+1))/(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^k)=1/(1-q^5m-2)(1-q^5m-3)

［３］シューアの分割恒等式

　　「mod6で±１と合同になる整数への分割と，各因子の差が３以上あり，連続する３の倍数を含まないような分割とは同数ある．」

　例えば５をmod6で±１と合同になる整数に分割するのは5の１通り，各因子の差が３以上あり，連続する３の倍数を含まないような分割は5の１通り．

（証）

　　Σu(n)x^n=Π1/(1-x^6k-1)(1-x^6k-5)

　　Σv(n)x^n=Π(1+x^3k-1)(1+x^3k-2)

　　Σw(n)x^n=Π(1+x^k+x^2k)

の母関数は一致する．

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　これらの分割恒等式は狭い範囲の興味の対象にすぎないと思われるかもしれませんが，もし，物理状態がｎ個の基本粒子の分割に関係しているとすると，驚くほど深い物理学への応用をもっていることが理解されます．

　実際，整数の分割問題は，現在では，統計力学（Maxwell-Boltzmann統計，Bose-Einstein統計，Fermi-Dirac統計）など様々な分野で実際的な問題を解決するのに用いられています．

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