【１】分割関数のｍ角数等式

　(a)オイラーの五角数定理（１７５０年）

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))　　　n:1~∞，m:-∞~∞，m(3m-1)/2は五角数

　(b)ヤコビの三角数定理（１８２９年）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　n:1~∞，m:0~∞，(m^2+m)/2は三角数

［１］三角数等式

　ヤコビの三重積公式

　　Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

において，ｚ＝１とすれば，

　　Σq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^2n)(1+q^(n-1))

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1+q^n)(1-q^2n+2)=Σq^(m(m+1)/2)　　m:-∞~∞

［２］七角数等式

　ｑをすべてｑ^5に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，

　　Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)=Π(1-q^5n)(1-q^5n-1)(1-q^5n-4)

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1-q^5n+1)(1-q^5n+4)(1-q^5n+5)=Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)　　m:-∞~∞

［３］ｍ角数等式

　ｑをすべてｑ^m-2に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，

　　Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)=Π(1-q^(m-2)n)(1-q^(m-2)n-1)(1-q^(m-2)n+1)

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1-q^(m-2)(n+1))(1-q^(m-2)(n+1)-1)(1-q^(m-2)(n+1)+1)=Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)　　m:-∞~∞

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【２】ロジャース・ラマヌジャン恒等式

　オイラー数は非制限分割数であるが，分割の構成数の差が２以上という制限を設けた分割と構成数が５ｎ＋１または５ｎ＋４の分割は恒に等しいというののが

　　1+q/(1-q)+q^4/(1-q)(1-q^2)++q^9/(1-q)(1-q^2)(1-q^3)+･･･

　　=1/(1-q)(1-q^4)(1-q^6)(1-q^9)(1-q^11)(1-q^14)(1-q^19)･･･

である．ロジャース・ラマヌジャン恒等式と呼ばれるものの１例である．

　これらの分割恒等式は無名の数学者ロジャーズ(1894)，また彼とは独立にラマヌジャン(1913)によって得られた．ロジャース・ラマヌジャン恒等式は，最初ロジャースにより発見されたのであるが，誰の興味も惹かず忘れ去られていたところ，ラマヌジャンにより別証明が与えられたというわけである．

　ロジャース・ラマヌジャン恒等式にはやさしい証明は存在せず，ｑ二項係数とヤコビの三重積公式を使って証明される．ロジャース・ラマヌジャン型の恒等式は数論とのみ結びついていると考えられていたが，いまとなっては組合せ論を介して数理物理の計算に当たり前のように現れてくることが知られている．

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