【３】ファンデンバーグ・ジーベックの定理

　「ガウスの定理」より

　　『複素数係数の３次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，α3，２次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβ1，β2とする．このとき，線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる．１次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解をγとするとき，線分β1β2の中点が点γとなる．』ですが，もっと面白い現象

　　『２点β1，β2は三角形α1α2α3の３辺の中点でこれらの辺に接する楕円の焦点になる．』

に到達することができます．

ｆ’（ｚ）＝０の2解はこの楕円の焦点、ｆ”（ｚ）＝０の解は個の楕円の中心になるのです。

（証）γ＝（α1＋α2＋α3）／３＝（β1＋β2）／２

また，３辺の中点は

　　μ1＝（α2＋α3）／２，μ2＝（α3＋α1）／２，μ3＝（α1＋α2）／２

　このとき，中線定理を使うと

　　｜μ1−β1｜＋｜μ1−β2｜＝｜μ2−β1｜＋｜μ2−β2｜＝｜μ3−β1｜＋｜μ3−β2｜

が成り立つ．

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［系］与えられた三角形に内接する面積が最大となるシュタイナー楕円は，接点が各辺の中点となるものである．その面積比は

　　π／３√３

で円とそれに外接する正三角形の面積比に等しい．

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y=(x-1)(x-2)(x-3)+10=x^3-6x^2+11x+4

y=0の根は[0.31,3.15(+/-)1.73i]

y'=3x^2-12x+11=0の根はx=2(+/-)1/√3=[1.42,2.58]

複素平面上で[1.42,2.58]は[0.31,3.15(+/-)1.73i]が作る三角形の中にある。

三角形の3辺のそれぞれの中点に接する楕円を描くと[1.42,2.58]はこの楕円の焦点になる。

まったく予想だにしない美しい驚嘆すべき結果であろう。

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