「ｐが素数でｐ＞５であるときに限り，

　　１＋１／２^3＋１／３^3＋・・・＋１／（ｐ−１）^3

の分子はｐ^2で割り切れる」

　「ｐが素数でｐ＞７であるときに限り，

　　１＋１／２^4＋１／３^4＋・・・＋１／（ｐ−１）^4

の分子はｐで割り切れる」

　１８１９年，バベッジは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

に気づきましたが，１８６２年，ウォルステンホルムは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

を証明したことになります．

　一般に，ｐを素数，ｋをｐ−１で割り切れない正の整数とするとき，

　　１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k

の分子はｐで割り切れる

　＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k

がｐで割り切れることが示されています．

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【１】ウォルステンホルム素数

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）

の分子をウォルステンホルム数と呼びますが，もし，

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^4）

が成り立つとき，ｐをウォルステンホルム素数と呼びます．ウォルステンホルム素数はいまのことろ１６８４３と２１２４６７９は発見されているだけだそうです．

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