【１】ウォルステンホルムの定理

　ウォルステンホルムの定理（１８６２年）

　「ｐが２，３以外の素数ならば有限調和級数（既約分数）

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）

の分子はｐ^2で割り切れる．」

　たとえば，ｐ＝５のとき，この分数は２５／１２となり，その分子はｐ^2で割り切れる．この問題は素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なのでかなり難しい問題である．

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　「ｐ＞３が素数ならば

　　Ｓ＝（（ｐ−１）！）^2（１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2）

はｐで割り切れる．」

　「ｐが素数でｐ＞５であるときに限り，

　　１＋１／２^3＋１／３^3＋・・・＋１／（ｐ−１）^3

の分子はｐ^2で割り切れる」

　「ｐが素数でｐ＞７であるときに限り，

　　１＋１／２^4＋１／３^4＋・・・＋１／（ｐ−１）^4

の分子はｐで割り切れる」

　１８１９年，バベッジは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

に気づきましたが，１８６２年，ウォルステンホルムは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

を証明したことになります．

　一般に，ｐを素数，ｋをｐ−１で割り切れない正の整数とするとき，

　　１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k

の分子はｐで割り切れる

　＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k

がｐで割り切れることが示されています．

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【２】二項係数の整除性

　１８６２年，ウォルステンホルムは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

を証明しました．これは（ｍｏｄ　ｐ^3）合同式ですが，モーリーの合同式

　　（−１）^(p-1)/2（ｐ−１，（ｐ−１）／２＝４^(p-1)　　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

も同様です．ここでは４次以上のベキに拡張してみます．

［１］リュカの定理（１８７２年）

ｐを素数，０≦ｑ＜ｐ，０≦ｒ＜ｐとする．

（ｐｎ＋ｑ，ｐｋ＋ｒ）＝（ｎ，ｋ）（ｑ，ｒ）　ｍｏｄ　ｐ

［２］ヤコブスタール（１９５２年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｐｎ＋ｑ，ｐｋ＋ｒ）−（ｎ，ｋ）＝０　ｍｏｄ　ｐ^3

［３］クペルベルグ（１９９９年）

ｐを素数，（２ｐ，ｐ）＝（２，１）＝０　ｍｏｄ　ｐ^4とする

（ｐｎ，ｐｋ）＝（ｎ，ｋ）　ｍｏｄ　ｐ^4

［４］シュワルツ（１９５９年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｐ^2，ｐ）＝（ｐ，１）＝０　ｍｏｄ　ｐ^5

［５］ツイーヴ（２０００年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｎｐ^m，ｋｐ^m）＝（ｎｐ^m-1，ｋｐ^m-1）　ｍｏｄ　ｐ^3m

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