(1)２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，ｂ1＝√ａ0ｂ0を計算する．次に，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ1ｂ1とする．

驚くべきことに算術幾何平均は楕円積分にも現れます。

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　ｆ＝Ｇ，ｇ＝Ａならば極限Ｍ（ａ，ｂ）は楕円積分

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}）

により表すことができる（ガウス）．→算術幾何平均

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　０＜ａ＜ｂのとき

　ａ＝ａ0＜ａ1＜ａ2＜・・・＞ｂ2＞ｂ1＞ｂ0＞ｂ

Ｍ（ａ，ｂ）＝ｌｉｍａn＝ｌｉｍｂn

Ｍ（ｒａ，ｒｂ）＝ｒＭ（ａ，ｂ）

Ｍ（ａ，ｂ）＝ｂＭ（ａ／ｂ，１）

Ｍ（ａ，ｂ）＝ａＭ（１，ｂ／ａ）

ｋ’＝ｂ／ａ，ｋ^2＝１−ｋ’^2

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,1)ｄｘ/√（１−ｘ^2）（１−ｋ^2ｘ^2））

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