ａがｘ^2＝２の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．

　かくして算術平均：

　　ａn+1=1/2(ａn＋２／ａn)

によって定義される数列は√(2)に収束することになります．この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　次に，算術平均に加えて，幾何平均も考えることにします．

「２数ａ0，ｂ0をとり，それらの算術平均ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，幾何平均ｂ1＝√ａ0ｂ0を計算する．次に，ａ1，ｂ1の算術平均と幾何平均を計算し，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ1ｂ1とする．すると，ａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する．」

（証明）

ａ0＞ｂ0とする．

ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２＜（ａ0＋ａ0）／２＝ａ0

ｂ1＝√ａ0ｂ0＞√ｂ0ｂ0＝ｂ0

ａ1−ｂ1＝（ａ0＋ｂ0）／２−√ａ0ｂ0＝１／２（√ａ0−√ｂ0）＞０

帰納的に

ａ0＞・・・＞ａn ＞ａn+1＞ｂn+1＞ｂn ＞・・・＞ｂ0

より数列｛ａn｝，｛ｂn｝は単調数列となり，同じ値に収束することがわかる．

　このように，１組の数（ａ，ｂ）に対して，算術および幾何平均を考えて，

　　(a,b):=((a+b)/2,√(ab))

と繰り返す算法を算術幾何平均法と呼びます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ａn+1−ｂn+1＜１／２（ａn−ｂn）

より２つの数列は急速に接近します。

次の等式はこの不等式を精密にしたものです。

ａn+1−ｂn+1＜１／２｛（ａn−ｂn）/（√ａn＋√ｂn）｝^2

右辺に現れる２乗のおかげで、算術幾何平均法の近似における正確な値の桁数は１項ごとにほぼ倍になるというわけです。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝