数列ときくと、すぐフィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，・・・

　　Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ）＋Ｆ（ｎ＋１），Ｆ（１）＝１，Ｆ（２）＝１

を思い出すが，生成規則

［１］ｃn＝ｃn-1　　　　　　　　　　　　　　周期１

［２］ｃn＝１／ｃn-1　　　　　　　　　　　　周期２

［３］ｃn＝（ｃn-1＋１）／ｃn-2　　　　　　　周期５

［４］ｃn＝ｃn-1／ｃn-2　　　　　　　　　　　周期６

［５］ｃn＝（ｃn-1＋ｃn-2＋１）／ｃn-3　　　周期８

は，大域的周期性をもつ数列を生成する．

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［３］ｃn＝（ｃn-1＋１）／ｃn-2　　　　　　　周期５

の場合について調べてみる．

　ｃ1＝ａ，ａ2＝ｂとすると，

　　ｃ3＝（ｂ＋１）／ａ

　　ｃ4＝（ａ＋ｂ＋１）／ａｂ

　　ｃ5＝（ａ＋１）／ｂ

　　ｃ6＝ａ

　　ｃ6＝ａ

となって，周期５で循環するのである．

　ただし，大域的周期性すなわち初期値によらず循環するためには，

　　ｂ＋１≠０，ａ＋ｂ＋１≠０，ａ＋１≠０

であることが必要になる．

　［参］チャンバーランド「ひとけたの数に魅せられて」岩波書店

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この再帰関係式はライネス写像と呼ばれることもある。

xn=(A1xn-1+A2xn-2+・・・+An-1x1+An)/(B1xn-1+B2xn-2+・・・+Bn-1x1+Bn)

型の再帰関係式で大域的周期性を持つ数列は上記の５種類のどれかになることが知られている。

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