９点の共線に関するパスカルの定理を２次曲線の定理としてみるのではなく，３次曲線の部分現象としてみると，パスカルの定理自体がより一般的な定理の特別な場合になっていることがわかる．その発想が本当に素晴らしいと思う．

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［１］平面上の５点で，円錐曲線がひとつ定まる．空間の６点で，空間３次曲線が決まる．

［２］２つの円錐曲線の交点での８つ接線は，ある同じ円錐曲線に接する．

［３］ある点から３次曲線へは，多くとも６本の接線が引ける．これは３次曲線の類が３か４か６であることからいえる．

［４］３次曲線は変曲点を高々９つもつ．うち３個は実変曲点である．この９個は１２本の直線上に３個ずつ並んでいる．

［５］３次曲線上にうまく２７個の点をとって，それらを通ってもとの６点で接する円錐曲線を引くことができる．この２７個の点は３次曲線の９つの変曲点のそれぞれを通る３つの接線の接点である．

［６］４次曲線は変曲点を高々２４個もつ．そのうち，実変曲点は高々８つである．

［７］４次曲線の３つの２重点での６本の接線は，同じ円錐曲線に接する．

［８］４次曲線に対して，どれも４つの２重接線の接点を通る３１５個の円錐曲線が存在する．

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［１］空間の９点で，２次曲面が決まる．

［２］非退化な２次曲面は５つある．

［３］与えられた７つの点を通る２次曲面は，みな８番目のある同じ点を通る．与えられた７つの点が同じ空間３次曲線に属していれば，この７点を通り２次曲面はこの３次曲線を完全に含む．だから８番目の点はこの３次曲線上にある．

［４］与えられた９つの２次曲面に接する２次曲面の数は６６６８４１０８８．

［５］３次曲面は３，７，１５あるいは２７本の直線しか含みえない．

［６］３次曲面上の点で，２７本の直線のうちの３つがその点を通るものをエッカルト点と呼ぶ．エッカルト点は個数は１，２，３，６，９，１８（最大個数１８）である．最大の場合は，６本の直線で，同時に９本の母線と交わるものが存在する．

［７］３次曲面のの３重接平面の最大数は４５である．これは３次曲面に２７，１５，７，３本の直線があることからいえる．それに対応して３重接平面が最大４５個存在する．

［８］４次曲線の２重接線の最大本数は２８である．これは３次曲面に２７本の直線があることからいえる．３次曲面をその上の点Ｐである平面に射影すると，４次曲線に沿う分岐が得られる．２７本の直線の像とｐを通るこの曲面の接平面の跡とが，２重接線となる．だから，３次曲面が３，７，１５，２７本の直線しかもちえないことから，４次曲線は４，８，１６，２８本の２重接線しかもちえないといえるのである．

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［１］ニュートンは，平面３次曲線はすべて，５つの空間３次曲線から中心射影を行うことで得られることを証明した．

［２］軸を変えても互いに他に還元できない平面３次曲線が７８種ある．ニュートンはこのうち７２種を見つけていた．

［３］軸を変えても互いに他に還元できない平面４次曲線が１５２種ある．この分類はオイラーが手がけ，プリュカーが成し遂げた．

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