【３】3次曲線の性質

さらに，パスカルの定理には3次曲線の構造がはいることが明らかになりました．３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線

　　ａ1ｘ^3＋ａ2ｙ^3＋ａ3ｘｙ^2＋ａ4ｘ^2ｙ＋ａ5ｘ^2＋ａ6ｙ^2＋ａ7ｘｙ＋ａｘ8＋ａ9ｙ＋ａ10＝０

で，項数は１０になります．４次曲線は項数１５，５次は項数２１・・・平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は，重複組み合わせ

　　3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２

で計算されます．

ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線は（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２−１＝ｎ（ｎ＋３）／２個のパラメータに依っていることになります．そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．

　たとえば，オイラーの定理とは「２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９個の交点のうち８個を通る３次曲線は残りの１点をも通る」というものですが，一般に，２つのｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０とｇ（ｘ，ｙ）＝０がｎ^2個の点で交わっているとします．これらのｎ^2個の交点中，ｎ^2＋ｎ−２個の交点を通るｎ次曲線は残りのｎ−２個の点も通り，その曲線は

　　ｆ（ｘ，ｙ）＋ｔｇ（ｘ，ｙ）＝０

で表されます．

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【４】パスカルの円錐曲線定理の拡張

　オイラーの定理の重要な系がパスカルの拡張形定理「２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９点中６点がひとつの２次曲線上にあれば，残りの３点は１直線上にある」です．

(証)円錐曲線上に６点を定める．３次曲線Ｅ1，Ｅ2がこれら６点を通るとき，Ｅ1，Ｅ2はさらに３点Ｒ，Ｓ，Ｔで交差するが，これらの交点は同一直線上にあることを証明してみます．交点は勝手な配置が許されるのではなく，拘束条件を満たすように配置されるのですが，この定理の場合，円錐曲線：Ｑ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ1：Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ2＝Ｇ（ｘ，ｙ）＝０，Ｒ，Ｓを通る直線：Ｌ（ｘ，ｙ）＝０とすると，

　　Ｇ（ｘ，ｙ）＝λＦ（ｘ，ｙ）＋μＱ（ｘ，ｙ）Ｌ（ｘ，ｙ）

の形で与えられることから，Ｒ，Ｓ，Ｔが直線上に並ぶことが証明されます．

　３次曲線Ｅ1，Ｅ2は一般に９個の交点をもちますから，パスカルの定理はこれより得られます．また，パップスの定理も３次曲線が直線に退化した特別な場合：（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）（ｇｘ＋ｈｙ＋ｉ）＝０とみなすことができます．

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