オイラーは，フェルマー予想の一般のｎ乗ベキに対する証明に拡張する望みはまず見いだせないと書いています．

　さらに，オイラーは，フェルマー予想の条件をゆるめて一般化した問題

『ｘ1^n＋ｘ2^n＋・・・＋ｘn-1^n＝ｘn^n，たとえば，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4にも自然数解がない』と予想しました．

　この不定方程式には整数解がないであろうことが長い間予想されていて，モーデルはコンピュータを使ってｗ＜２２００００の範囲でこの問題は成立することを紹介しています．

　ところが，オイラーの推測からおよそ２００年後，コンピュータを使って

２７^5＋８４^5＋１１０^5＋１３３^5＝１４４^5 　（１９６６年、ランダーとパーキン）

９５８００^4＋２１７５１９^4＋４１４５６０^4＝４２２４８１^4 　（１９８８年）

２６８２４４０^4＋１５３６５６３９^4＋１８７９６７６０^4＝２０６１５０７３^4 　（１９８８年、エルキース）

などのオイラー予想に対する反例が発見されました．

　さらに，エルキースにより，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4には無数の解があることが楕円曲線の理論に基づいて示されました（１９８８年）．

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４乗の場合には無限の反例が見つかりましたが、５乗についてはわずか３例が見つかっただけです。

２７^5＋８４^5＋１１０^5＋１３３^5＝１４４^5 　（１９６６年、ランダーとパーキン）

85282^5＋28969^5＋3183^5＋55^5＝85359^5 　（２００４年、フライ）

については

２７＝３^3

８４＝２^2・３・７

110＝２・５・１１

133＝７・１９

144＝12^2＝２^4・3^2

これらの素因数は高々19です。

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ｎ乗の場合、ｎ-1個の数を加えますが、ｎ個の数を加えるなら

3^2+4^2=5^2

3^3+4^3+5^3=6^3

30^4+120^4+272^4+315^4=353^4

19^5+43^5+46^5+47^5+67^5=72^5

21^5+23^5+37^5+79^5+84^5=94^5

7^5+43^5+57^5+80^5+100^5=107^5

など無数の例があります。

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