直角三角形では，斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理　　ａ^2 ＋ｂ^2 ＝ｃ^2

が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ2 ＋ｂ2 ＝ｃ2 の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．

　ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2 −ｎ^2 ），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2 ＋ｎ^2 ）

が形も簡単で広く用いられています．

　　｛（ｎ^2 −１）／２｝^2 ＋ｎ^2 ＝｛（ｎ^2 ＋１）／２｝^2

　　（ｎ^2 −１）^2 ＋（２ｎ）^2 ＝（ｎ^2 ＋１）^2

のように^文字を一つだけ使ったのでは，ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが，二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2 −ｎ^2 ）^2 ＋（２ｍｎ）^2 ＝（ｍ^2 ＋ｎ^2 ）^2

では全部を表すことができます．逆に，この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります．

　ここでは，不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解について調べてみます．

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【１】オイラー解

　オイラーによれば不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解は

ａ＝−（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｂ＝（ｘ2＋３ｙ^2）^2−（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ−３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｃ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2−（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｄ＝（ｚ2＋３ｗ^2）^2＋（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ）

であることが知られています．３回回転対称性が意識されているのだと思われます．

　これより，

　　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3，

　　１^3＋６^3＋８^3＝９^3，

　　７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

などが求められます．

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【２】ラマヌジャン解

　ラマヌジャンはａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の解を二つの文字ｍ，ｎの恒等式

ａ＝３ｍ^2＋５ｍｎ−５ｎ^2 ，

ｂ＝４ｍ^2−４ｍｎ＋６ｎ^2 ，

ｃ＝５ｍ^2−５ｍｎ−３ｎ^2 ，

ｄ＝６ｍ^2−４ｍｎ＋４ｎ^2

として与えています．３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3

を意識したものですが，すべての解をもれなく表す式ではないとと思われます．

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