【１】フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式

　　ｎ｛Ａ（ａ^n）−Ｇ（ａ^n）｝

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・｝

　算術平均Ａ（ａ^n），幾何平均Ｇ（ａ^n），右辺はａ1，ａ2，・・・，ａnを置換して得られる値の総和である．

　また，このことから算術平均と幾何平均の大小関係についての有名な不等式

　　Ａ（ａ^n）≧Ｇ（ａ^n）

の別証明が得られる．

　　Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・

　＝ΣＰ1（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ2（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ3（ａ1−ａ2）^2＋・・・

　＝Σ（Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＋・・・）（ａ1−ａ2）^2

　＝ΣＰ0（ａ1−ａ2）^2≧０

　このように２次式の和の形ΣｋＰ^2が出現するのだが，さらに，

　　ａ1＝ｘ1^2，ａ2＝ｘ2^2，・・・

とおくと，

　　（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）

　＝（ｘ1^2(n-1)−ｘ2^2(n-1)）（ｘ1^2−ｘ2^2）

　＝（ｘ1^2−ｘ2^2）^2（ｘ1^2(n-2)＋ｘ1^2(n-3)ｘ2^2＋・・・＋ｘ2^2(n-2)）

となり，各項が（ｘ1^2−ｘ2^2）ｘ1^(n-2)の平方の形の多項式となっていることがわかる．このことから，多項式Ｐ1，Ｐ2，・・・それ自体も平方の和となることが理解される．

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