４ｎ＋３型素因数の積は

(4a+3)(4b+3)=4(4ab+3a+3b+2)+1

４ｎ＋１型自然数Ｎになる→偶数個の４ｎ＋３型素因数の積は４ｎ＋１型自然数Ｎになる

→４ｎ＋１型自然数Ｎの素因数に４ｎ＋１型素数が存在するとは限らない。

４ｎ＋３型素数とは本質的な違いがあるのです。

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　４ｎ＋１型素数は無数に存在する

(証)

４ｎ＋１型素数は有限個p1,p2,p3,・・・,pkしかないと仮定して矛盾を導き出す。

Ｎ＝4・(p1p2p3・・・pk)^2+1とおく。

Ｎが素数であれば矛盾。→Ｎは素数でない

Ｎは2，p1,p2,p3,・・・,pkでは割り切れない

しかし、Ｎはx^2+1型自然数であるから素因数はq=4n+1型素数になる

これは４ｎ＋１型素数はp1,p2,p3,・・・,pkだけであることに矛盾する

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