４ｎ＋３型素因数の積は

(4a+3)(4b+3)=4(4ab+3a+3b+2)+1

４ｎ＋１型自然数Ｎになる→偶数個の４ｎ＋３型素因数の積は４ｎ＋１型自然数Ｎになる

→４ｎ＋１型自然数Ｎの素因数に４ｎ＋１型素数が存在するとは限らない。

したがって、以下のような証明では４ｎ＋１型素数は無数に存在することは示すことができない。

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　４ｎ＋３型素数は無数に存在する

(証)

４ｎ＋３型素数は有限個3，p1,p2,p3,・・・,pkしかないと仮定して矛盾を導き出す。

Ｎ＝4・p1p2p3・・・pk+3とおく。

Ｎが素数であれば矛盾。→Ｎは素数でない

4・p1p2p3・・・pkは3では割り切れない

3はp1,p2,p3,・・・,pkのいずれでも割り切れない

Ｎはp1,p2,p3,・・・,pkのいずれでも割り切れない

→これら以外に４ｎ＋３型素数が存在することになる→矛盾

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