【１】ベンフォードの法則

　膨大な数字が並んでいる冊子（例えば会計報告書）には，ランダムに数値が並んでいるように思えますが，意外なことに１ではじまる数が多いというのです．

　先頭の数字がどのような確率で出現するかを考えましょう．単純に各数字（０〜９）の出現確率が同じと考えれば，同じ確率１／９で現れるはずですが，実際には１から始まる数値が圧倒的に多く３０％くらいもあります．

　逆に，９から始まる数値は４．５％程度まで落ちるのですが，これはベンフォードの法則

　　ｐ（ｋ）＝ｌｏｇ10（（ｋ＋１）／ｋ）

として知られる法則です．

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　　１→ｌｏｇ10２＝０．３０１０，

　　２→ｌｏｇ10３／２＝０．１７６１，

　　３→ｌｏｇ10４／３，

　　・・・・・・・・・，

　　９→ｌｏｇ10１０／９＝．０４５８

　　［参］松葉育雄「複雑系の数理」朝倉書店

にしたがえば，Ｎ桁の数字までの累積分布をＰ（Ｎ）とすると

　　ｐ（ｋ）＝∫(k,k+1)Ｐ（Ｎ）ｄＮ

と表されるのですが，ベンフォードの法則はＰ（Ｎ）としてベキ指数１のジップ分布

　　Ｐ（Ｎ）〜１／Ｎ

を仮定することにより

　　ｐ（ｋ）＝∫(k,k+1)Ｐ（Ｎ）ｄＮ＝ｌｏｇ10（（ｋ＋１）／ｋ）

と再現できるというのです．

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この確率の和が１に等しくなることを示します。

Σｌｏｇ10（（ｋ＋１）／ｋ）=log2+log(3/2)+log(4/3)+・・・+log(10/9)

=log10=1

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