■ヒーウッドの公式と2次方程式(その3)
グラフの種数とは、グラフを辺が交差しないように描画できるようにするために、球面に追加しなければならない取っ手の最小数である。
リンゲルとヤングスが解決した問題は、向き付け可能なグラフの種数と関係している。
たとえば、K5はトーラス面上には描画可能であるが、球面上には描画不可能である(種数1)。
Knの種数がgnならば、n色が必要となるgn個の取っ手をもつ曲面上の地図が存在するということである。
gn=(n-3)(n-4)/12のceiling
であることから、g>1に対して
H(g)=[{7+√(1+48g)}/2]
が導かれる。
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【11】ヒーウッドの公式
[1]球面上のK4
[2]トーラス面上のK7
[3]種数6表面上のK12
は,ヒーウッドの公式「g個の穴があいているトーラス上の地図はどれも
H(g)=[{7+√(1+48g)}/2]
色で塗り分けられる」に対応したものである.
g=(v−3)(v−4)/12
v^2−7v+12−12g=0
v=[{7+√(1+48g)}/2]
以下,
g=11 → K15
g=13 → K16
g=20 → K19
g=35 → K24
g=46 → K27
g=50 → K28
g=63 → K31
g=88 → K36
と続く.1+48g型の平方数は無数にあるのだろう.ともあれ,彩色数はオイラー標数とは別の表面の不変量なのである.
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