√２に収束する高次分数列を考える．

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

は驚異的なスピードで√２に近づきます．

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　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋ａｑ^2）／ｂｐｑ

において，Ｐ＝ｐ^2＋ａｑ^2，Ｑ＝ｂｐｑとおいた場合，

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝ｐ^4＋（２ａ−２ｂ^2）ｐ^2ｑ^2＋ａ^2ｑ^2＝（ｐ^2−２ｑ^2）^2＝１

連立２次方程式

（２ａ−２ｂ^2）＝−４

ａ^2＝４

→ａ＝２，ｂ＝２　　（ＯＫ）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ｐ＝（ｐ^3＋ａｐｑ^2）＝ｐ（ｐ^2＋ａｑ^2），

Ｑ＝（ｂｐ^2ｑ＋ｃｑ^3）＝ｑ（ｂｐ^2＋ｃｑ^2）

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝ｐ^2（ｐ^4＋２ａｐ^2ｑ^2＋ａ^2ｑ^4）−２ｑ^2（ｂ^2ｐ^4＋２ｂｃｐ^2ｑ^2＋ｃ^2ｑ^4）

＝（ｐ^6＋２ａｐ^4ｑ^2＋ａ^2ｐ^2ｑ^4）−（２ｂ^2ｐ^4ｑ^2＋４ｂｃｐ^2ｑ^4＋２ｃ^2ｑ^6）

＝ｐ^6＋（２ａ−２ｂ^2）ｐ^4ｑ^2＋（ａ^2−４ｂｃ）−２ｃ^2ｑ^6

＝（ｐ^2−２ｑ^2）^3＝１

連立２次方程式

（２ａ−２ｂ^2）＝−６

（ａ^2−４ｂｃ）＝１２

−２ｃ^2＝−８

ｃ＝２，ｂ＝３，ａ＝６　　（ＯＫ）

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