√２に収束する１次分数列を考える．

　　ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

このとき，ｐをｐ＋２ｑ，ｑをｐ＋ｑで置き換えています．

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝（ｐ＋２ｑ）^2−２（ｐ＋ｑ）^2

＝−ｐ^2＋２ｑ^2＝±１

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　もう一度，ｐをｐ＋２ｑ，ｑをｐ＋ｑで置き換えれば，

　　ｐ／ｑ→（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）→（ｐ＋２ｑ＋２ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋２ｑ＋ｐ＋ｑ）＝（３ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋３ｑ）

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝（３ｐ＋４ｑ）^2−２（２ｐ＋３ｑ）^2

＝ｐ^2−２ｑ^2＝±１

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　さらに，もう一度，ｐをｐ＋２ｑ，ｑをｐ＋ｑで置き換えれば，

　　ｐ／ｑ→（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）→（ｐ＋２ｑ＋２ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋２ｑ＋ｐ＋ｑ）＝（３ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋３ｑ）→

（３ｐ＋６ｑ＋４ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋４ｑ＋３ｐ＋３ｑ）

＝（７ｐ＋１０ｑ）／（５ｐ＋７ｑ）

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝（７ｐ＋１０ｑ）^2−２（５ｐ＋７ｑ）^2

＝−ｐ^2＋２ｑ^2＝±１

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　さらに，もう一度，ｐをｐ＋２ｑ，ｑをｐ＋ｑで置き換えれば，

（７ｐ＋１０ｑ）／（５ｐ＋７ｑ）

＝（７ｐ＋１４ｑ＋１０ｐ＋１０ｑ）／（５ｐ＋１０ｑ＋７ｐ＋７ｑ）

＝（１７ｐ＋２４ｑ）／（１２ｐ＋１７ｑ）

＝

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝（１７ｐ＋２４ｑ）^2−２（１２ｐ＋１７ｑ）^2

＝ｐ^2−２ｑ^2＝±１

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