メルセンヌ数２^n−１が合成数であるならば，因数はあるｋに対してｋｎ＋１である．

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９→２３＝２・１１＋１

　　２^23−１＝８３８８６０７＝４７・１７８４８１→４７＝２・２３＋１

　　２^37−１＝１３７４３８９５３４７１＝２２３・６１６３１８７７→ ２２３＝６・３７＋１

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［１］２^11−１

　√２０４７＝４５．２・・・

　そこで，命題：ｐを奇素数，ｑを素数とする

　　２^q＝１　　（ｍｏｄｐ）

ならば，ｐ＝１　　（ｍｏｄｑ）であるを用いると，素因数となりうるのは ｐ＝２２ｎ＋１型と書ける．２３は早速素数なので調べてみると

　　２０４７＝２３・８９

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［２］２^37−１

　ｐ＝３７ｎ＋１、ｎ＝１は偶数なので，ｐ＝７４ｎ＋１型と書ける．

　　ｎ＝１：ｐ＝７５（非素数）

　　ｎ＝２：ｐ＝１４９（素数）であるが，因数ではない．

　　ｎ＝３：ｐ＝２２３（素数）であり，因数でもある．

　　１３７４３８９５３４７１＝２２３・６１６３１８７７

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