ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘは区間［０，π］において凹であることから，

　　ｓｉｎＡｓｉｎＢ≦（ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）／２）^2

　　ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ≦（ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）／３）^3

　　ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣｓｉｎＣ≦（ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）／４）^4

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　Ａ，Ｂ，Ｃが三角形の内角ならば

　　ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ≦３√３／８

　　ｓｉｎ（Ａ／２）ｓｉｎ（Ｂ／２）ｓｉｎ（Ｃ／２）≦１／８

　　ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝４ｃｏｓ（Ａ／２）ｃｏｓ（Ｂ／２）ｃｏｓ（Ｃ／２）≦３√３／２

　　ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｒ／Ｒ＋１

ここで，Ｒ≧２ｒ（オイラーの不等式）を用いると

　　ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ≦３／２

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