【１】ｙ^2＝ｘ^3−ａの整数解

［定理］ａは平方因子をもたない，

　　ａ≠７　　（ｍｏｄ８）

　　虚２次体Ｑ（√−ａ）の類数は３で割れないとき，ｙ^2＝ｘ^3−ａが整数解をもつのは，任意の整数ｕとｅ＝±１に対して，

［１］ａ＝３ｕ^2＋ｅ，（ｘ，ｙ）＝（３ｕ^2＋ｅ，ｕ（８ｕ^2＋３ｅ））

［２］ａ＝３ｕ^2＋８ｅ，（ｘ，ｙ）＝（３ｕ^2＋２ｅ，ｕ（ｕ^2＋３ｅ））

のいずれかの場合に限る．

［例］ａ＝１１，ｕ＝２，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（３，±４）

　　　ａ＝１１，ｕ＝１，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（１５，±６４）

　ａ＝１，ｕ＝０，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（１，０）に限る．

　ａ＝２，ｕ＝０，ｅ＝−１→（ｘ，ｙ）＝（３，±５）に限る．

　ａ＝３，どのような整数ｕをとっても３＝３ｕ^2±１，３＝３ｕ^2±８とはならない→整数解をもたない．

［注］ａ＝７（ｍｏｄ８）のときは［１］［２］以外の解があり得る．たとえば

　ａ＝１５→（ｘ，ｙ）＝（４，７）

　ａ＝２３→（ｘ，ｙ）＝（３，２）

　ａ＝２，ｕ＝０，ｅ＝−１→（ｘ，ｙ）＝（３，±５）に限る．

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