３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とするとき，２辺の和は他の１辺よりも大きいので，三角不等式

　　ａ＋ｂ＞ｃ，ｂ＋ｃ＞ａ，ｃ＋ａ＞ｂ

が成り立つ必要がある．そこで，・・・

［Ｑ］３次方程式ｔ^3＋ｐｔ^2＋ｑｔ＋ｒ＝０の解ｔ1，ｔ2，ｔ3が三角形の辺であるための必要十分条件は？

　　［参］大関清太「不等式」共立出版

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［１］実数係数の３次方程式

　　ｔ^3＋ｐｔ^2＋ｑｔ＋ｒ＝０

の解と係数の関係

　　ｔ1＋ｔ2＋ｔ3＝−ｐ

　　ｔ1ｔ2＋ｔ2ｔ3＋ｔ3ｔ1＝ｑ

　　ｔ1ｔ2ｔ3＝−ｒ

より３実根をもつための必要十分条件（判別式）は

　　（ｔ1−ｔ2）^2（ｔ2−ｔ3）^2（ｔ3−ｔ1）^2＝ｐ^2ｑ^2＋１８ｐｑｒ−４ｑ^3−４ｐ^3ｒ−２７ｒ^2≧０

［２］３つの正解をもつための必要十分条件は，

　　ｐ＜０，ｑ＞０，ｒ＜０

［３］３次方程式の解が三角形の辺であるための必要十分条件は，［１］＋［２］＋

　　（ｔ1＋ｔ2−ｔ3）（ｔ1−ｔ2＋ｔ3）（−ｔ1＋ｔ2＋ｔ3）＝ｐ^3−４ｐｑ＋８ｒ＞０

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［Ｑ］３次方程式ｔ^3＋ｐｔ^2＋ｑｔ＋ｒ＝０の解ｔ1，ｔ2，ｔ3が鋭角三角形の辺であるための必要十分条件は？

　［１］＋［２］＋［３］＋

［４］　（ｔ1^2＋ｔ2^2−ｔ3^2）（ｔ1^2−ｔ2^2＋ｔ3^2）（−ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）＝（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2−２ｔ3^2）（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2−２ｔ2^2）（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2−２ｔ1^2）＝（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）^3−２（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）^2＋４（ｔ1^2ｔ2^2＋ｔ2^2ｔ3^2＋ｔ3^2ｔ1^2）（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）−８ｔ1^2ｔ2^2ｔ3^2＞０

において，

　　ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2＝（ｔ1＋ｔ2＋ｔ3）^2−２（ｔ1ｔ2＋ｔ2ｔ3＋ｔ3ｔ1）＝ｐ^2−２ｑ

　　ｔ1^2ｔ2^2＋ｔ2^2ｔ3^2＋ｔ3^2ｔ1^2＝（ｔ1ｔ2＋ｔ2ｔ3＋ｔ3ｔ1）^2−２ｔ1ｔ2ｔ3（ｔ1＋ｔ2＋ｔ3）＝ｑ^2−２ｐｒ

　したがって，

　　（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）^3−２（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）^2＋４（ｔ1^2ｔ2^2＋ｔ2^2ｔ3^2＋ｔ3^2ｔ1^2）（ｔ1^2＋ｔ2^2＋ｔ3^2）−８ｔ1^2ｔ2^2ｔ3^2＝−（ｐ^2−２ｑ）^2＋４（ｑ^2−２ｐｒ）（ｐ^2−２ｑ）−８ｒ^2＞０

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