ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　　　　　　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

ガンマ関数にも無限積表示

　　Γ（ｘ）＝∫(0,∞)t^(x-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

　　　　　　＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)

がありますが、三角関数にもガンマ関数のような無限積表示が知られています．

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【１】ヘルダーの２重三角関数

サイン関数は

　　Ｓ1（ｘ）＝２ｓｉｎ（πｘ）＝２πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝（ｅｘｐ（πｉｘ）−ｅｘｐ（−πｉｘ））／ｉ

と定義することができますが、ヘルダーは１８８６年に２重三角関数

　　Ｓ2（ｘ）＝ｅｘｐ（∫(0,x)πｔｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）

　　　　　　 ＝ｅｘｐ（ｘ）Π（（１−ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ））^nｅｘｐ（２ｘ）

を研究しました．

　ｎ→∞のとき，

　　（１−ｘ／ｎ）^n→ｅｘｐ（−ｘ）

　　（１＋ｘ／ｎ）^n→ｅｘｐ（ｘ）

　　（（１−ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ））^nｅｘｐ（２ｘ）→１

となることはは容易に理解されるところです

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【２】黒川の３重三角関数・多重三角関数

　黒川先生はヘルダーの研究にならって，３重三角関数

　　Ｓ3（ｘ）＝ｅｘｐ（∫(0,x)πｔ^2ｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）

　　　　　　 ＝ｅｘｐ（ｘ^2／２）Π（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2ｅｘｐ（ｘ^2）

を導入しています．

　ｎ→∞のとき，（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2→ｅｘｐ（−ｘ^2）

ですから

　　（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2ｅｘｐ（ｘ^2）→１

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