懸垂線の問題を解いたのはベルヌーイであったのですが，変分法によって，懸垂線は与えられた２点を両端とする一定の長さの曲線をｘ軸を軸として回転させたときにできる曲面の表面積を最小にする曲線であることも簡単に導かれます．

（証明）y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積を最小にしたい．曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

　これは懸垂線で考えた位置エネルギーの２π倍ですから，解は懸垂線を回転させたものであり，懸垂曲面（カテノイド）と呼ばれています．なお，回転極小曲面は懸垂面のみであることが示されています．

f(x)=cosh(αx)/α が解である

ただし,x>0におけるy=coshx/xの最小値はおよそ1.5088である．したがって，この値よりもyが小さかったら解はない．1.5088=1/0.6627

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［補］針金でできた半径１の２つの輪があるとき，その間隔が１．３２５４よりも小さければカテノイドができ，大きければできない．

αが存在しないときには汎関数自体が存在しない。変分法では存在自体が問題になるのである。

　f(x)/x=cosh(αx)/αx

x=1,f(x)=1.8で計算してみると、α=0.695,α=1.90という２つの解が得られる。対応するカテノイドを描いてみるとα=1.90は面積最小を与えるが、α=0.695は最小を与えない。出てきたものがすべて最小を与えるとは限らない。最小となるための必要条件を追求してきただけなのである。

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