ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項まで使って，πを表現する方法はステルマーの定理より次の５つしかないことが知られています．

　π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／１）

　π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）

　π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／２）−ａｒｃｔａｎ（１／７）

　π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）

　π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）

　ステルマー（Stφrmer）はノルウェー（オスロ大学）の数学者．数論に興味を持っていましたが，オーロラの研究もした人です．セルバーグはリーマン予想にいままでで一番近づいた人と評されますが，オスロ大学で数学を勉強していた頃，ラマヌジャンの数学について紹介したステルマーの文章を読んで影響を受けたようです．

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［１］２項公式

　π／４＝arctan(1/2)+arctan(1/3) (Euler)

　π／４＝2arctan(1/2)-arctan(1/7) (Vega)

　π／４＝2arctan(1/3)+arctan(1/7) (Clausen)

　π／４＝4arctan(1/5)-arctan(1/239) (Machin)

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［２］３項公式

　π／４＝arctan(1/2)+arctan(1/5)+arctan(1/8) (Dahse)

　π／４＝3arctan(1/4)+arctan(1/20)+arctan(1/1985) (Gauss)

　π／４＝4arctan(1/5)-arctan(1/40)+arctan(1/99) (Rutherford)

　π／４＝4arctan(1/5)-2arctan(1/408)+arctan(1/1393) (Vega)

　π／４＝12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239) (Gauss)

　π／４＝8arctan(1/10)-arctan(1/239)-4arctan(1/515) (klingenstierna)

　π／４＝6arctan(1/8)+2arctan(1/57)+arctan(1/239) (Shanks,Stφrmer)

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［３］４項公式

　ステルマー（Stφrmer）は３項公式を研究していますが，さらにａｒｃｔａｎを４つ使ってπを表現する公式

　π／４＝44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943) (Stφrmer)

も発見しました（１８９６年）．

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